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証明を得意にするための逆算

相模原市中央区矢部で数学を得意になってもらうための塾・青木学院です。

 

証明問題の答案を見て欲しいと持ってきた生徒がいました。

 

「模範解答ではこういうふうに書いてあったが、何故そう書くべきなのか。

 

自分の答案だとダメなのかが知りたい」ということでした。

 

良いですね、こういう風に「正解と同じなら○、違えばバツをつけるだけ」

 

ではない姿勢は学習上達の基本ですからね。

 

いくつかのポイントを説明した上で、こういう話をしました。

 

「証明でも通用するポイントとして、

 

迷ったら常に逆算を心がけるということを押さえておこう。

 

何を聞かれているかを考えて、それを宣言できる要素を考える。

 

例えば三角形の合同を聞かれているということが分かれば、

 

合同条件の3つを宣言できれば大丈夫だ。

 

じゃあその条件のうち、今回宣言できそうなのはどれか、

 

あるいは宣言するために何を見ればいいかがわかりやすくなる。

 

そうすれば、今わかっていることから結びつけやすくなるから、

 

証明問題を解く時に少し楽になるはずだよ」

 

この「ゴールから逆算」というのは他の問題でも大いに使えます。

 

「根拠から結論へ」という考え方を示すための、

 

「結論のための根拠」という道筋のたどり方で、数学を得意にしましょう。

 

 

GW特訓の参加者を募集します。

 

短期集中で1学期の定期試験に向けて、

 

あるいは前学年の復習を改めて、とお考えの方におすすめです。

 

10時間から参加できます。

 

40時間以上は受け放題になりますので、

 

毎日目一杯学習して一気に学力を上げたい生徒さんをお待ちしております。

 

 

新中3の県相進学科授業を開講します。

 

個別演習授業を無制限で受講していただけます。

 

また、毎週水曜日に3時間の講義授業を行います。

 

これまで受講した生徒の進学先は

 

・県立厚木高校 ・県立相模原高校

 

・県立海老名高校 ・県立座間高校 ・県立麻溝台高校

 

などです。

 

上位高校進学を目指して十全の努力を行う生徒を募集します。

 

お問い合わせはこちらから。

 


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複数の解き方で

数学の問題は、できるだけ複数通りの解き方で解けるほうが良いです。

 

この問題はこの解き方で、というパターンに当てはめるのはありです。

 

しかし、複数通りの解き方が出来るということは、

 

問題を様々な角度から解釈することが出来たり、

 

解法を様々な形で使うことが出来るということになります。

 

これらは初見の問題に対応する力の基礎になります。

 

入学試験のときには、自分が初めて見ると感じる問題に出会うことがあります。

 

あるいはこれまで解けていたはずの解法が使いこなせないことがあります。

 

そういう時に正解答案を作る手助けになるということです。

 

日頃の学習から異なった解法を探しに行く癖をつけておけば、

 

それが実力の下地となってくれるはずです。

 

といっても難しい解法を覚えていこうということだけではなく、

 

既知の解法で捉え直せないか考えてみるところから始めて下さい。

 

 

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短期集中で1学期の定期試験に向けて、

 

あるいは前学年の復習を改めて、とお考えの方におすすめです。

 

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暗算は暗記力から

暗算で大事なことはいくつかありますが、

 

その一つは暗記力であると考えて下さい。

 

例えば5+3+6+9を計算する時に5+3=8を最初に考えます。

 

その8を覚えたまま8+6=14を考えて

 

最後に14+9=23で計算が終了します。

 

つまり途中の計算で出した答えを覚えたまま、

 

その先に考えを進めることが必要なわけです。

 

しかしこの、「一時的に覚えておく」ということが

 

きちんと出来ていない子供はむやみに式を書きまくります。

 

結果として時間がかかりすぎてしまったり、

 

計算式のミスが発生する回数が増えてしまうのです。

 

では、どうやって「一時的に覚えておく」ことができるようにしましょうか。

 

その一つは「人の話を聞いてそのまま真似をする」ような訓練があります。

 

文字情報でないものですから見直しもできません。

 

聞いたまんまを頭の中に残しておいて、

 

そのまま再生するトレーニングというわけです。

 

できれば再生するときには、リズムも同じようにやってもらいたいものです。

 

塾長はどこでこれをトレーニングしたんだっけなぁと考えていました。

 

思い出しました。コレです。

 

 

懐かしく思ってくださった保護者さんもいらっしゃると思います。

 

ドリフは偉大ですね。

 

 

新中3の県相進学科授業を開講します。

 

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即解き直す

数学を得意になりたかったら即解き直すことを勧めます。

 

解説を読んだり、先生の解説を聞いたりした後に

 

その解説を見ないですぐに同じ答案が作れるかを試すのです。

 

ついさっき見たはずなのに、思うよりずっと再現できないものです。

 

試してみたらきっと驚くと思います。

 

直後に解き直して出来ないなら、時間を置いて解き直したり、

 

あるいは解き直さなかったらどうなるでしょうか。

 

考えるだに恐ろしいと思いませんか。

 

ですから、即解き直しをおすすめするのです。

 

もちろん解き直してまた躓いたら、また解説を読んだり

 

先生に解説してもらいにいけばいいのです。

 

とにかく即復習して反復して身につけるのです。

 

地味な作戦ですが、それをおいて学力の向上はありません。

 

 

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言語化していく

中2が立体図形の体積問題を解いています。

 

謎の立体に見えているようで、計算の手が止まりました。

 

「その立体の形はどうなっているか、説明してみて」と言うと、

 

「こういう形が凹んだものです」と答えました。

 

手付きと表情を確かめて「75点やね」と伝えます。

 

「多分どういう図形なのかを粘土で作れと言われたらできそうだから。

 

でも、それを数学の言葉で表現して欲しいわけよ」

 

と言ってもう少し考えてもらいました。

 

「あ、円柱から円錐を取った図形です」

 

「ん、100点。じゃあその立体の体積は求められそう?」

 

「はい」

 

ということで問答終了です。

 

「ここで大事なのは、自分がどこでひっかかったのかを考えることよ。

 

いま君はイメージをきちんと取れていたけど、

 

『言語化する』、例えば数学の言葉で言い換えてみるというところが欠点だった。

 

だから他の問題を解くときでも、数学の言葉や考えで表そうとしてみてね。

 

練習すれば上手くなるから。」

 

という話をしました。

 

問題を解けるようになるためにはこういうところにボトルネックがある生徒は

 

とても多いのではないかと考えています。

 

ぼんやりとしたイメージにとどまること無く、

 

言語化して考えていくことは正解率をきちんと上げてくれるはずです。

 

もちろんこの練習には相応の手間と時間が必要ですから、

 

青木学院の個別演習科のような長時間演習授業が効果的なのです。

 

教わっているだけでは修練を詰めない生徒のための指導です。

 

 

 

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個別演習授業を無制限で受講していただけます。

 

また、毎週水曜日に3時間の講義授業を行います。

 

これまで受講した生徒の進学先は

 

・県立厚木高校 ・県立相模原高校

 

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何でも覚えようとするだけ、ではいけない

今日は中1と立体図形についての話をしていました。

 

正多面体の面の形・頂点の数・辺の数・面の数についての問題で

 

「これは全部覚えなくてはいけませんか?」と尋ねられました。

 

無論覚えて問題はありません。

 

しかしむやみに覚えようとするのではなく、

 

理屈で追い込めるようになって欲しいと考えています。

 

なんでも覚えないのは無理筋ですが、

 

なんでも覚えて済ますのもまた無理筋だからです。

 

問題の出題形式とヒントから、まずどの数について考えるか、

 

そしてその数をどう活かしていけば

 

覚えなくても・その場で数えなくても正解できるか。

 

それに併せて「いざとなったらどう数えるか」

 

について順序立てて説明しました。

 

今日の授業を身につけてもらえればそれだけで、

 

定期テストで安定して得点できる大問が増えるのですから

 

きちんと家でもやり直してくださいね。

 

 

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記述証明は添削を受ける

3学期は証明問題が課題となります。

 

入学試験のことを考えても記述証明は添削を受けてください。

 

指導者に添削してもらうことで自分の改善点や、

 

自分が身についている部分を確認できます。

 

高校入試での証明は穴埋めではなく完全証明なので、

 

鍵となる式を書くだけのスタイルでは突破できません。

 

教科書やワークを見て模範となる型を参考にして自分でも書いてみて、

 

それを自分以外の目でチェックしてもらった上で

 

自分の答案をブラッシュアップしていきましょう。

 

1年のうちから練習しておけば、入試間際に慌てなくてすみます。

 

少しでも多くの学習を長期的に行いましょう。

 

 

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立体図形の高さ問題

立体図形の中で、ある頂点から他の面に

 

垂直に引かれた線分の長さを求めるものがあります。

 

特に面は多角錐の側面である場合が多いです。

 

これは中学生が苦手にする割合が高い問題です。

 

この問題の解決は「体積からの逆算」がポイントです。

 

多くの場合、直前の問題までに得られた数値から体積を計算できます。

 

その体積と求める線分が垂直になっている面の面積を使えば、

 

多角錐の体積=底面積✕高さ✕1/3

 

という式から逆算で高さを出せるというわけです。

 

これは小学校でもやる「面積と底辺がわかれば高さが出せる」問題と同じです。

 

この時に、「底辺と高さは垂直の関係」を言語化して認識していれば、

 

「底面と高さは垂直の関係」に思い至ることはたやすくなります。

 

ですから、立体図形内の垂直関係を高さと関連付けて解けるわけです。

 

いずれにせよ、数学は以前学習したものが新しい内容を支えてくれるのです。

 

 

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中学生になる前にマスターしたい算数

中学生になる前に色々やっておきたいことはあります。

 

算数で言えば、割合と分数計算です。

 

これを出来ると思っている小学生は多いですが、

 

実際にはほとんど十分に理解していないです。

 

闇雲に公式を覚えて代入しただけの小学生が多いです。

 

英語の準備も大切ですが、まずは割合と分数計算の復習をおすすめします。

 

割合は数学だけではなく理科でも使う概念です。

 

理科の計算問題が苦手な生徒の多くは小学生の割合を曖昧にしています。

 

また、数学は算数よりも分数の出番が多くなります。

 

分数の四則演算が「遅い」のは致命傷になりかねません。

 

単純に遅いということは時間がかかるということであり、

 

時間あたりの学習量も伸ばせません。

 

さらには時間が掛かる計算をやってストレスを感じることで、

 

学習意欲の低下や計算ミスの原因にもなります。

 

分数の四則演算は100点をめざすべきです。

 

 

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回転させてみる

立体図形でも平面図形でも、

 

「公式を見たことのない謎の形」を相手にするように思えることがあります。

 

その時に取るべき手段は「分割」「回転」のどちらかが多いです。

 

「分割」の方がまだ馴染みやすい生徒が多いですね。

 

これは小学校の平面図形から見慣れているおかげでしょう。

 

特に一瞬戸惑うのは「回転」ですね。

 

公式を知らない謎の立体の体積を求めようとする時に、

 

その立体を回転させて違う角度から見れば、

 

見慣れた立体が現れることは多いです。

 

問題用紙を固定して解くことにこだわらず、

 

困ったら違う角度から眺めるクセをつけたいところです。

 

回転したら三角錐・四角錐に見えることは多いですよ。
 

 

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